Das ewige Leben

[Alice94]

Verstehe, du akzeptierst auch nicht, dass z.B: 2:3 =0,666... ist.

Neuer Versuch (schriftliche Division):

Mit der schriftlichen Division bestätigst Du meine Äußerung, dass bspw. 1/9 lediglich im Endlichen mit 0,111... gleich ist, denn eine schriftliche Division kann ich ausschließlich im Endlichen ausführen, nicht aber bis in die Endlosigkeit fortführen. Ein Taschenrechner rundet. 1/9 ist eine offene Rechnung bis ins Endlose. Somit muss man zunächst erst einmal bekennen, dass man eine absolute Äquivalenz von 1/9 und 0,111... fürs Endlose nicht behaupten kann; vor allem auch deshalb nicht, weil Beweismöglichkeiten nicht gegeben sind. Später kann man aber zeigen, wie ich es mehrfach tat, dass 1/9 und 0,111... nicht identisch sein können.

Im Unendlichen ist 0,666... eben 2:3

Nein, im endlichen Bereich. Warum im Unendlichen? Beweise das bitte.

 

[Hans9876]

Hallo PsiSnake,

versuch nicht es zu beweisen, denn auch wenn sie jetzt einen Beweis von dir fordert wird sie, sobald du einen Beweis gebracht hast, mit keiner Silbe auf ihn eingehen sondern weiter vor sich hinblubbern, dass sie ja eh schon (mit noch mehr geblubber und ohne zu sagen wovon sie überhaupt redet) das Gegenteil bewiesen hat und zeigen, dass die Forderung nach einem Beweis eh nur eine Alibihandlung war.

Sind vermutlich die Nachwehen hiervon: alicemaus.homepage.eu/

 

[Alice94]

Ich sagte, dass du (wenn du einen Widerspruch innerhalb des Axiomensystems nachweisen willst) nur die Axiome benutzen darfst. Was 0,9 sein soll ist aber in den Axiomen nicht gesagt. Also musst du erstmal 0,9 definieren. Und das ... am Ende musst du selbstverständlich auch (nur mit den Axiomen) definieren.

Habe ich getan. Du hast es sogar zitiert: 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... . 0,999... ist eine rationale Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge nach dem Komma.

mit keiner Silbe auf ihn eingehen sondern weiter vor sich hinblubbern, dass sie ja eh schon (mit noch mehr geblubber und ohne zu sagen wovon sie überhaupt redet) das Gegenteil bewiesen hat und zeigen, dass die Forderung nach einem Beweis eh nur eine Alibihandlung war.

Du projizierst, denn exakt das hast Du die ganze Zeit praktiziert, indem Du auf KEINEN einzigen Widerlegungsbeweis eingingst, ständig aber neue Erklärungen zu neuen Themen fordertest. Meine Beweise hast Du geschickt ignoriert, indem Du sie listigerweise nicht mehr zitiert hast, um dazu keine Stellung beziehen zu müssen. Nun stellst Du es dar, als sei ich im Erklärungsnotstand. Schon ziemlich unfair.

Die willkürliche Behauptung 1 - 0,999... werde ich selbstverständlich NICHT so übernehmen, denn wie sollte ich sie dann widerlegen? Absolut unmöglich! Der Anlass, warum ich die Definition der Äquivalenz von 1 und 0,999... NICHT übernehme, ist darin begründet, weil dieses mathematische Postulat auf einer zirkulären Logik basiert, wie ich bereits erläutert habe.

Aber gerne noch einmal:

Um zu beweisen, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt und die Menge der reellen Zahlen (habe ich definiert!) damit überabzählbar ist, haben Mathematiker das offene Intervall ]0,1[ betrachten, in welchem in der Tat keine zwei reellen Zahlen zu ermitteln sind, die so direkt aufeinander folgen, dass deren Subtraktion das kleinste positive reelle Element zur Konsequenz hätte. Oder anders formuliert: Es lassen sich im offenen Intervall KEINE zwei reellen Zahlen finden, zwischen die keine dritte reelle Zahl zu schieben ist.

Hier haben Mathematiker einen ausgesprochen selektiven Zahlenbereich zum Fundament ihres "Beweises" gemacht. Die hieraus gewonnene Erkenntnis haben sie nun unzulässigerweise auf die Gesamtheit der Menge der reellen Zahlen übertragen, so dass sie auf 1 = 0,999... schließen, da es anderenfalls eben doch die zwei ursprünglich gesuchten Zahlen gäbe, zwischen die sich keine weitere mehr schieben lässt. Da sie die "Erkenntnis" aus ihrem "Nachweis" mit dem offenen Intervall aber bereits voraussetzten, gelangten sie also zu 1 = 0,999... . Und bis heute besitzt diese Aussage Gültigkeit, obschon sie sich, wie jetzt abermals deutlich werden durfte, auf einem Zirkelschluss gründet.

Ich beginne also von vorne, gänzlich ohne Vorurteile und Prägungen, betrachte meinetwegen das geschlossene oder halboffene Intervall, so dass die 1 Teil des Intervalls ist und somit für Rechenoperationen zur Verfügung steht (wer nun sagt, die 1 müsse nicht berücksichtigt werden, da ja 0,999... = 1 sei und 0,999... zum offenen Intervall bereits gehört, begeht den nächsten Zirkelschluss, denn deren Gleichheit muss erst einmal auf objektiver, ganzheitlicher Ebene konstatiert werden, was bisher ausblieb).

Sowohl im geschlossenen Intervall [0,1] als auch im halboffenen Intervall ]0,1] oder im erweiterten Intervall ]0,2[ lassen sich schließlich zwei Zahlen in der Menge der reellen Zahlen entdecken, deren Differenz der kleinste positive Nachfolger der natürlichen Zahl 0 in der Menge der reellen Zahl ist: 1 und 0,999... .

Ich habe nachgewiesen, dass 1/9 und 0,111... NICHT identisch sein können. Aus diesem Grunde resultiert zwingend die Ungleichheit von 1 und 0,999... .

 

[Hans9876]

Habe ich getan. Du hast es sogar zitiert: 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... . 0,999... ist eine rationale Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge nach dem Komma.

Hallo Alice,

ich will dir nichts böses, aber so wie du dich verhältst komme ich zu dem Schluss, dass du mir etwas böses willst. Ich werde gerne auf deinen Beweis eingehen, aber erstmal müssen wir dieses grundlegende Problem lösen.

Du hast gesagt, dass das Axiomensystem sich widerspricht. Um das zu beweisen willst du irgendetwas mit 0,999... zeigen. Auf meine Frage, wie du 0,999... überhaupt definierst antwortest du mit:
0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Jetzt schauen wir uns die Axiome noch einmal an: (esoterikforum.at/forum/showthread.php?p=2586952#post2586952)

Dort steht, dass die reellen Zahlen zwei Elemente Enthalten: 0 und 1. Dort wird weder gesagt, ob die reellen Zahlen noch mehr Elemente enthalten noch ob es unendlich viele sind. Dies muss (und kann auch) aus den Axiomen bewiesen werden.

In deiner Definition von 0,999... benutzt du jetzt die Zeichenkette 0,9. Aber was soll das bedeuten? In den Axiomen wird dazu keine Aussage gemacht. Es wird auch nicht gesagt, was 9 sein soll. Also definieren wir erstmal:
9 := 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
10 := 9 + 1
Jetzt wissen wir was 9 und 10 bedeuten soll. Aber wir wissen immer noch nicht, was 0,9 bedeuten soll. Also könnten wir 0,9 als 9/10 definieren (streng genommen müssten wir vorher noch zeigen, dass 10 nicht = 0 ist).

Überspringen wir jetzt mal einige Schritte und nehmen an, das wir definiert haben was 9/(10^n) für eine natürliche Zahl n bedeutet (wobei wir erst noch definieren müssten was überhaupt eine natürliche Zahl ist).

Dann bleibt noch das entscheidende Problem: Was soll das ... am Ende deiner Definition bedeuten: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

"Immer so weiter" oder "unendlicher Prozess" sind keine Begriffe die in den Axiomen vorkommen und können somit nicht ohne vorherige Definition verwendet werden.

Das Problem wird gelöst indem man das Summationszeichen benutzt. Dieses ist folgendermaßen rekursiv definiert:

Sum[a_i, i, 1] = a_1
Sum[a_i, i, n] = Sum[a_i, i, n-1] + a_n (für n > 1)

Somit können wir z.B. sagen:

0,99999 (5 Neunen nach dem Komma) = Sum[9/(10^i), i, 5] = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + 9/10^4 + 9/10^5

Jetzt können wir weiterhin definieren: 0,999... = lim (Sum[9/(10^i), i, n])
Erstmal müssten wir jetzt nachweisen, dass der Ausdruck auf der rechten Seite überhaupt eine Reelle Zahl und nicht etwa unendlich ist. Aber nehmen wir an, dass wir das bereits getan haben.

Jetzt betrachten wir Sum[9/(10^i), i, n] (für eine natürliche Zahl n) = 9 * Sum[1/(10^i), i, n] = 9 * (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n)

(1 - (1/10)) * (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n)
= (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n) - (1/10^2 + ... + 1/10^(n+1))
= 1/10 - 1/10^(n+1)

Division durch (1 - (1/10)):

1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n = (1 - 1/10^n)/(10 - 1) = (1 - 1/10^n)/9

Also ist Sum[9/(10^i), i, n] = 9 * Sum[1/(10^i), i, n] = 9 * (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n) = 9 * ((1 - 1/10^n)/9) = 1 - 1/10^n

Wir haben also: 0.999... = lim (Sum[9/(10^i), i, n]) = lim (1 - 1/10^n)

Nun habe ich bereits in einem der vorherigen Posts folgendes gezeigt:

Sei x eine beliebige reelle Zahl größer 0. Dann gibt es eine natürliche Zahl m so, dass m > 1/x. Für alle n >= m > 1/x gilt somit 1/n = |1/n - 0| < x. Damit ist bewiesen, dass lim 1/n = 0.

Dabei wende ich die Definition von lim an um zu zeigen, dass lim 1/n = 0 ist. Wie du sehen kannst steht dort nirgendwo etwas von "Unendlich", einem "unendlichen Prozess" oder von einem "Grenzfall". Die Definition von lim hat absolut nichts mit "Unendlich" zu tun.

Nun kann man leicht zeigen, dass wenn a_n < b_n < c_n für alle natürlichen Zahlen n und lim a_n = lim c_n auch lim b_n = lim a_n = lim c_n gilt.

Da 0 < 1/10^n < 1/n ist folgt damit lim 1/10^n = 0. Und somit 0.999... = lim (1 - 1/10^n) = 1 - 0 = 1.




Das ist wie gesagt der übliche Weg die Dezimalrepräsentation von reellen Zahlen zu definieren. Siehe dazu auch en.wikipedia.org/wiki/Decimal_representation

 

[PsiSnake]

Zitat:Mit der schriftlichen Division bestätigst Du meine Äußerung, dass bspw. 1/9 lediglich im Endlichen mit 0,111... gleich ist, denn eine schriftliche Division kann ich ausschließlich im Endlichen ausführen, nicht aber bis in die Endlosigkeit fortführen.

Wieso im Endlichen? Es ist doch offensichtlich, dass 0,111... periodisch ist, und man daher sozusagen den 2. Schritt (in meinem Beispiel) unendlich wiederholen kann/muss. Ansonsten hat man natürlich nicht unendlich viel Zeit,
schriftlich zu dividieren, ähnlich sinnlos wäre aber auch zu behaupten, es gäbe nicht unendlich viele natürliche Zahlen, weil man nicht unendlich lange zählen kann.

Zitat:Ein Taschenrechner rundet. 1/9 ist eine offene Rechnung bis ins Endlose. Somit muss man zunächst erst einmal bekennen, dass man eine absolute Äquivalenz von 1/9 und 0,111... fürs Endlose nicht behaupten kann; vor allem auch deshalb nicht, weil Beweismöglichkeiten nicht gegeben sind.

Es ist eben keine offene Rechnung. Dass an irgend einer Nachkommastelle jemals eine andere Ziffer auftreten wird, als die 1 ist völlig ausgeschlossen,
weil sich der Rechenschritt "Eine Null dran hängen. In die 20 passt die 3 nun 6 mal. Rest 2" immer wiederholt. Ich mag das nicht notieren können, wie ich das normalerweise mache, daher auch diese Schreibweise 0,111... (oder mit dem Querstrich auf der periodischen Ziffer, weiß nicht wie das mit der Tastatur geht).

LG PsiSnake

 

[Hans9876]

ähnlich sinnlos wäre aber auch zu behaupten, es gäbe nicht unendlich viele natürliche Zahlen, weil man nicht unendlich lange zählen kann.

Das tut sie doch auch:

indem ich z. B. die größte natürliche Zahl ermittelte

 

[Alice94]

lim 1/n = 0 beruht darauf, dass 1/n eine Zahlenfolge ist, deren Grenzwert angeblich 0 ist laut herrschender Mathematik. Das kann man widerlegen durch:

1.
n in N ist eine Zahl, zu der man immer 1 addieren kann.
Die Mathematiker schließen ja die vorstellbar größte natürliche Zahl = ...999 aus.

2.
Auch im Grenzfall ist immer zwischen 1/n und 0 eine Zahl schiebbar, nämlich 1/(n+1). Damit wäre nicht 0, sondern 1/(n+1) der Grenzwert und das dann ist ein endloser Prozess, der erst sein Edne fände, nähme man ...999 an, also 1/...999, weil ja hier nicht 1 addiert werden kann => 1/0 ist nicht definiert. Die Zahlenfolge 1/n in N erreicht nie 0, weshalb auch 0 nicht der Grenzwert sein kann, sondern nur 1/(n+1). An dieser Stelle widersprecht Ihr Euch eben selbst und zwar endlos oft.

lim 1/n = 1 - 0,999... = 1/ ...999 > 0,

denn diese Zahl (kleinste positive reelle Zahl) wird nie unterschritten, weshalb sie der Grenzwert ist und nicht 0!

 

[Hans9876]

Da du unter "Grenzwert" oder "lim" etwas anderes verstehst als Mathematiker brauchen wir nicht weiter darüber zu reden.

Bevor du weiter fragst, hier noch mal die Definition wie Mathematiker sie verwenden:

(lim a_n = x) <=> (&#8704; e > 0 &#8707; m &#8712; N &#8704; n >= m : |a_n - x| < e)

 

[Alice94]

(lim a_n = x) <=> (&#8704; e > 0 &#8707; m &#8712; N &#8704; n >= m : |a_n - x| < e)

Gilt 1 / &#8734; = der Grenzfall von lim 1 / &#8734; = 0?

 

[Hans9876]

Hast du in der Definition (dem was rechts von <=> steht) etwas von "Grenzfall" gelesen? Ich nicht.