Jetzt hör du mir mal gut zu: Wenn du behauptest, dass zwei oder mehr Axiome sich widersprechen musst du sagen welche das sind.
Und ohne überhaupt erstmal 0,999... (nur unter Verwendung der Axiome) definiert zu haben brauchst du garnicht mit 0,999... zu kommen. Dabei aber nicht vergessen zu beweisen (nur unter Verwendung der Axiome) dass 0,999... auch ein Element von R ist.
Oh Mann, wieder auf kein Argument eingegangen, aber ich bin mal so freundlich und übersehe dies. Also: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,00009 + ... reicht das erst einmal? Es ist ein ENDLOSER Prozess, der einen ENDLOSEN Wert, nämlich 0,999... mit einer ENDLOSEN Ziffernfolge von Neuen nach dem Komma zur Konsequenz hat. Eins (1) dagegen ist ein abgeschlossener, ein ENDLICHER Wert und die Logik, auf welcher die gesamte Mathematik basiert, gebietet, dass etwas Endloses NICHT mit etwas Endlichem identisch sein kann. Ebenso wenig kann es kein volles und zugleich leeres Glas geben. Diese Eigenschaften schließen logisch stringent einander aus. Lass Dir also etwas Besseres einfallen.
1/9 > 0,111... und dies nicht nur, weil es sich hierbei um eine offene Rechnung handelt, die im Endlosen niemals abgeschlossen werden kann. Also: 1/9 und 0,111... sind nur im endlichen Bereich äquivalent, nicht aber im abzählbar unendlichen. Logisch?
Es ergibt sich das gleiche Problem wie oben: Es ist theoretisch möglich, einen Gegenstand in 9 gleiche Teile zu dividieren. Es ist jedoch niemals möglich, auch nicht theoretisch, diesen Gegenstand zuerst in 0,1, dann in 0,01 und anschließend in 0,001 usw. zu teilen, womit BEWIESEN ist, dass 1/9 und 0,111... NICHT exakt identisch sein können!
Gälte tatsächlich 1 = 0,999..., so dürfte zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich nicht mehr unterschieden werden, denn dann gäbe es keine kleinste positive reelle Zahl und der Grenzwert von lim 1 / n wäre genau 0 wie bei 1 / ∞. Da das Resultat gleich ist, muss auch der "Divisor" identisch sein, so dass gilt: unendlich (überabzählbar unendlich, JEDE Zahl ist enthalten laut Differenzenquotienten) = abzählbar unendlich (n, das die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft). Die Menge der natürlichen Zahlen ist aber nicht einfach unendlich, sondern tatsächlich abzählbar unendlich.
