Das ewige Leben

[Hans9876]

Und wo begehe ich nun Fehler? Ist doch alles korrekt.
1,2,3,4,5,... . Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich. Warum diese triviale Frage?

Dann beweise doch bitte einmal, dass lim 1/n = 0. Dafür musst du selbstverständlich die von mir verlinkte Definition anwenden.

UWieso MEINE? Das ist eine offizielle und korrekte Definition von R. Korrigiere sie anderenfalls, bitte.

Hier die übliche Definition der reellen Zahlen:

R ist eine Menge mit folgenden Eigenschaften:

(i) R ist ein Körper, d.h.
es gibt zwei Operationen +:RxR->R, *:RxR->R und zwei Elemente 0, 1 in R (0 ungleich 1) so dass gilt:

1. a+b = b+a und a*b = b*a für alle a, b aus R
2. (a+b)+c = a+(b+c) und (a*b)*c = a*(b*c) für alle a, b, c aus R
3. 0+a = a und 1*a = a für alle a aus R
4. Für alle a, b aus R gibt es ein x in R mit a + x = b (man schreibt -a für die Lösung von a + x = 0)
5. Für alle a, b aus R mit a ungleich 0 gibt es ein x in R mit ax = b
6. a*(b+c) = a*b + b*c für alle a, b, c aus R

(ii) R ist geordnet, d.h.
es existiert eine Teilmenge X von R so dass gilt:

1. Für alle a aus R gilt genau eine der drei Bedingungen: "a ist in X", "a ist 0", "-a ist in X"
2. Aus a, b in X folgt a+b ist in X und a*b ist in X

Man schreibt a > b für a-b in X, a >= b für a-b in X oder a-b = 0

(iii) R ist ordnungsvollständig, d.h.
Wenn A, B nichtleere Teilmengen von R sind und a <= b für alle a aus A und b aus B, dann gibt es ein x in R so, dass a <= x <= b für alle a aus A und b aus B.

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Das ist die übliche Definition, nicht mehr und nicht weniger.

Du beziehst nicht Position zur Widerlegung des 1. Cantor'schen Diagonalarguments.

Doch, genau das tue ich mit der von mir verlinkten Funktion.

Weil es nicht stimmt.

Dann ist ]0,1[ -> R, x |-> (x-0,5)/(x*(x-1)) also keine Bijektion?

Richtig, die Abblidung ist nicht bijektiv, es ist überhaupt keine

Es ist keine Funktion? Eine Funktion f: A->B ist eine Teilmenge von AxB so dass gilt: Für alle a aus A gibt es genau ein b aus B so dass (a,b) in f ist. Warum trifft die von mir verlinkte Funktion nicht darauf zu?
Hier der Beweis der Bijektivität:
Injektivität: abload.de/img/prf14gl4.png
Surjektivität: abload.de/img/prf25hnb.png

Dann benenne doch bitte mal den Grenzwert von e*Pi oder e^Pi, wenn mit irrationalen Zahlen mathematisch exakt zu rechnen ist gemäß Deiner Definition von R.

e*Pi ist e*Pi und e^Pi ist e^Pi. Nach der obigen Definition von R sind e*Pi und e^Pi Elemente von R.

Das ist der Beweis und zwar im doppelten Sinne.

Bitte?

lim (1 + 1/n)^n = lim (1 + 1/n)* lim (1 + 1/n) * lim (1 + 1/n)* ...

Hier nimmst du das was du beweisen willst bereits an. Den Beweis dafür bist du aber noch schuldig geblieben. Außerdem ist ... keine exakte Schreibweise. Benutz bitte das Produktzeichen um zu sagen, was du meinst: en.wikipedia.org/wiki/Multiplication#Capital_pi_notation

Warum? Ich kann doch jede ganze und natürliche Zahl exakt mittels einer rationalen Zahl darstellen, gilt 1 = 0,999... . Wozu ist der Aufwand notwendig, noch die natürlichen und ganzen Zahlen zu definieren?

Nicht notwendig, sondern interessant.

 

[Alice94]

Dann beweise doch bitte einmal, dass lim 1/n = 0. Dafür musst du selbstverständlich die von mir verlinkte Definition anwenden.

Wieso ich? Die derzeitige Mathematik behauptet, 0 sei der Grenzwert von lim 1 / n. Ich sage, dass dies inkorrekt ist, denn gälte lim 1 / n = 0, so bräche die Ziffernfolge des zweiten Bildungsgesetzes der Euler'schen Zahl e ab, so dass dieses Verfahren lediglich zur Bestimmung von Näherungswerten von e taugen würde. Dieses zweite Bildungsgesetz von e lautet nämlich:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 1/n! + ...

Dann ist ]0,1[ -> R, x |-> (x-0,5)/(x*(x-1)) also keine Bijektion?

Erläutere mir bitte diese Schreibweise.

Es ist keine Funktion? Eine Funktion f: A->B ist eine Teilmenge von AxB so dass gilt: Für alle a aus A gibt es genau ein b aus B so dass (a,b) in f ist. Warum trifft die von mir verlinkte Funktion nicht darauf zu?
Hier der Beweis der Bijektivität:
Injektivität: abload.de/img/prf14gl4.png
Surjektivität: abload.de/img/prf25hnb.png

Nun ja, mit Teilmengen geht das, N auf N ist abzubilden. N ist Teilmenge von NxN. Wie aber bildest Du e auf Pi ab?

e*Pi ist e*Pi und e^Pi ist e^Pi. Nach der obigen Definition von R sind e*Pi und e^Pi Elemente von R.

Mit irrationalen Zahlen lässt sich also - wie von mir behauptet - nicht schlussendlich rechnen, anderenfalls benenne doch bitte das Ergebnis von ePi als reellen Zahlenwert.

Hier nimmst du das was du beweisen willst bereits an. Den Beweis dafür bist du aber noch schuldig geblieben. Außerdem ist.

Wie gesagt, ich behaupte: lim 1 / n > 0, die aktuelle Mathematik sagt lim 1 / n = 0, womit sie den Nachweis erbringen muss, dass der Grenzwert 0 ist. Es findet sich jedoch kein n, das mit 0 multipliziert jemals 1 ergibt, auch im Grenzfall nicht. Mit Aufrechterhaltung von lim 1 / n = 0 gilt e = 1 und abzählbar unendlich = überabzählbar unendlich.

Nicht notwendig, sondern interessant.

Warum? Wir drehen uns ein bisschen im Kreise.

 

[Alice94]

Der Limes des Differenzenquotienten ist die Ableitung einer Funktion. Im Pauschalen, nicht im Speziellen, wird hier kein Grenzwert einer Zahlenfolge ermittelt! Dies bedeutet eben, dass die Limes-Operation mehr ist als das Ermitteln des Grenzwertes eine Zahlenfolge

 

[Hans9876]

Wieso ich? Die derzeitige Mathematik behauptet, 0 sei der Grenzwert von lim 1 / n.

Dann mach ich es eben: Sei x eine beliebige reelle Zahl größer 0. Dann gibt es eine natürliche Zahl m so, dass m > 1/x. Für alle n >= m > 1/x gilt somit 1/n = |1/n - 0| < x. Damit ist bewiesen, dass lim 1/n = 0.

denn gälte lim 1 / n = 0, so bräche die Ziffernfolge des zweiten Bildungsgesetzes der Euler'schen Zahl e ab

Nein.

Erläutere mir bitte diese Schreibweise.

Anders geschrieben: f: ]0,1[ -> R, f(x) = (x-0,5)/(x*(x-1))
Dies ist eine Bijektion.

Nun ja, mit Teilmengen geht das, N auf N ist abzubilden. N ist Teilmenge von NxN.

N ist keine Teilmenge von NxN. Und die Beweise, dass die genannte Funktion NxN -> N eine Bijektion ist ignorierst du?

Wie aber bildest Du e auf Pi ab?

Die haben damit nichts zu tun.

Mit irrationalen Zahlen lässt sich also - wie von mir behauptet - nicht schlussendlich rechnen, anderenfalls benenne doch bitte das Ergebnis von ePi als reellen Zahlenwert.

Das muss ich garnicht, denn die Definition von R garantiert mir, dass e*Pi eine reelle Zahl ist, auch wenn ich den Zahlenwert nicht angeben kann.

Wie gesagt, ich behaupte: lim 1 / n > 0, die aktuelle Mathematik sagt lim 1 / n = 0, womit sie den Nachweis erbringen muss, dass der Grenzwert 0 ist.

Oben geschahen.

Es findet sich jedoch kein n, das mit 0 multipliziert jemals 1 ergibt, auch im Grenzfall nicht.

Was nach der Definition des Grenzwertes auch nicht notwendig ist.

Mit Aufrechterhaltung von lim 1 / n = 0 gilt e = 1 und abzählbar unendlich = überabzählbar unendlich.

Was du immer noch nicht bewiesen hast.

Warum? Wir drehen uns ein bisschen im Kreise.

Wenn ich etwas interessant finde muss ich das doch nicht begründen.

Der Limes des Differenzenquotienten ist die Ableitung einer Funktion. Im Pauschalen, nicht im Speziellen, wird hier kein Grenzwert einer Zahlenfolge ermittelt! Dies bedeutet eben, dass die Limes-Operation mehr ist als das Ermitteln des Grenzwertes eine Zahlenfolge

Der Limes einer Folge und der Limes einer Funktion sind ja auch vollkommen verschieden definiert. Nichts neues, auch in rot nicht.

 

[Alice94]

Der Limes einer Folge und der Limes einer Funktion sind ja auch vollkommen verschieden definiert. Nichts neues, auch in rot nicht.

Also, bleiben wir erst einmal bei einem Punkt. Warum sollten die Definitionen voneinander abweichen? lim 1 / n IST eine Funktion, denn ich kann problemlos die Funktion f = 1 / n darstellen, wobei n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft. Es gibt keinen Anlass für eine Differenzierung.

Warum die Frage, ob es eine kleinste positive reelle Zahl gebe, so relevant ist, liegt daran, dass ihre Beantwortung philosophische und physikalische Konsequenzen bedingt. Existiert ein mathematisches Äquivalent für abzählbar unendlich kleine Teilchen, so können diese "Urteilchen" auch mathematisch beschrieben werden, aus denen das gesamte Sein aufgebaut ist. E = mc² ließe sich dann einwandfrei nachvollziehen, denn wenn alles aus solchen Urteilchen besteht, ist natürlich auch alles Existente ineinander überführbar unter bestimmten Bedingungen.

 

[Hans9876]

Also, bleiben wir erst einmal bei einem Punkt. Warum sollten die Definitionen voneinander abweichen? lim 1 / n IST eine Funktion, denn ich kann problemlos die Funktion f = 1 / n darstellen, wobei n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft.

Du hast selbstverständlich damit recht, dass eine Folge eine Funktion ist, aber nicht jede Funktion ist eine Folge. Nur Funktionen mit dem Definitionsbereich N sind Folgen. Die Definition des Grenzwertes die ich dir oben gegeben habe gilt nur für Folgen wobei n -> inf.
Die Definition des Grenzwertes bei beliebigen Funktionen greift wiederum auf diese Definition zurück: de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Definition_mit_Hilfe_von_Folgen

Warum die Frage, ob es eine kleinste positive reelle Zahl gebe, so relevant ist, liegt daran, dass ihre Beantwortung philosophische und physikalische Konsequenzen bedingt.

Die Mathematik beschäftigt sich nicht mit philosophischen Fragen und eine kleinste positive reelle Zahl gibt es nicht. Denn wäre x die kleinste reelle positive Zahl, so wäre (nach der Definition von R) 0 < x/2 < x. Im Widerspruch dazu, dass x die kleinste positive reelle Zahl sei.

 

[soul back]

Der Geist tritt in die Materie ein und fragt sich dann ob es das ewige Leben gibt oder Leben nach dem Tod.Vor allem wird dann alles akribisch mit Worten zerkleinert, bis ein Atom übrigbleibt,welches schallend lacht,wenn man genau hinhört.

 

[zwiIIing]

Der Geist tritt in die Materie ein und fragt sich dann ob es das ewige Leben gibt oder Leben nach dem Tod.Vor allem wird dann alles akribisch mit Worten zerkleinert, bis ein Atom übrigbleibt,welches schallend lacht,wenn man genau hinhört.

Hast du gut gesagt, gefällt mir sehr.

 

[Alice94]

Du hast selbstverständlich damit recht, dass eine Folge eine Funktion ist, aber nicht jede Funktion ist eine Folge. Nur Funktionen mit dem Definitionsbereich N sind Folgen. Die Definition des Grenzwertes die ich dir oben gegeben habe gilt nur für Folgen wobei n -> inf.
Die Definition des Grenzwertes bei beliebigen Funktionen greift wiederum auf diese Definition zurück: de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Definition_mit_Hilfe_von_Folgen

Der Grenzwert von lim 1/n ist 0, negiert man die kleinste positive reelle Zahl. In Wirklichkeit gilt aber: lim 1/n = das kleinste positive reelle Element, wenn man logisch denkt.

Die Mathematik beschäftigt sich nicht mit philosophischen Fragen und eine kleinste positive reelle Zahl gibt es nicht. Denn wäre x die kleinste reelle positive Zahl, so wäre (nach der Definition von R) 0 < x/2 < x. Im Widerspruch dazu, dass x die kleinste positive reelle Zahl sei.

Das eben ist falsch. Die kleinste positive reelle Zahl ist nicht halbierbar. Du setzt hier bereits voraus, dass es NICHT die kleinste Zahl ist, womit Du Dich in einen Zirkelschluss begibst.

Zwischen 1 und 0,999... ist eben keine weitere Zahl zu schieben, das ist es ja gerade, was ich permanent erläutere. Wenn Du anderer Ansicht bist, dann benenne diese Zahl, bitte.

 

[Hans9876]

Der Grenzwert von lim 1/n ist 0, negiert man die kleinste positive reelle Zahl. In Wirklichkeit gilt aber: lim 1/n = das kleinste positive reelle Element, wenn man logisch denkt.

Wie ich bereits oben bewiesen habe ist lim 1/n = 0. Aber auf Beweise gehst du ja generell nicht ein.

Das eben ist falsch. Die kleinste positive reelle Zahl ist nicht halbierbar.

Nach der Definition von R ist jede reelle Zahl halbierbar. Ich beweise es durch einfaches Anwenden der Definition (Siehe hier: esoterikforum.at/forum/showthread.php?p=2586952#post2586952):

Anmerkung: "!=" steht für "ungleich" und "=>" steht für den Folgepfeil und "€" steht für "Element von".

a) Behauptung: (-1)*(-1) = 1
Beweis: In die eckigen Klammern vor dem Gleichzeichen schreibe ich jeweils, welches Axiom von (i) ich benutze.
(-1)*(-1) [3]= (-1)*(-1) + 0 [4]= (-1)*(-1) + ((-1) + 1) [2]= ((-1)*(-1) + (-1)) + 1 [3]= ((-1)*(-1) + 1*(-1)) + 1 [6]= ((-1) + 1)*(-1) + 1 [4]= 0*(-1) + 1 [3]= 0*(-1) + 0 + 1 [4]= 0*(-1) + 0*(-1) - 0*(-1) + 1 [6]= (0+0)*(-1) - 0*(-1) + 1 [3]= 0*(-1) - 0*(-1) + 1 [4]= 0 + 1 [3]= 1

b) Behauptung: 1 > 0
Beweis: Nach (ii) 1. gilt genau eine der drei Aussagen -1 > 0, 1 = 0 oder 1 > 0. Nach (i) ist 1 != 0 also gilt entweder -1 > 0 oder 1 > 0. Wäre jetzt -1 > 0 so wäre nach (ii) 2. und dem oben bewiesenen auch 1 = (-1)*(-1) > 0 im Widerspruch dazu, dass nur eine der beiden Aussagen -1 > 0 oder 1 > 0 gelten kann. Also ist auch -1 > 0 falsch und somit 1 > 0 richtig.

c) Behauptung: 2 = 1 + 1 > 0
Beweis: Folgt sofort aus (ii) 2. und der Aussage, dass 1 > 0

d) Da 2 > 0 ist 2 nach (ii) 1. insbesondere != 0 und damit existiert nach (i) 5. ein x mit der Eigenschaft 2*x = 1. Dieses x wird als 1/2 bezeichnet.

e) Behauptung: 2 > 1
Beweis: Sei X wieder die in (ii) benannte Menge:
1 > 0
=> 1 € X
=> 1 + 0 = 1 + (1 - 1) = (1 + 1) - 1 = 2 - 1 € X
=> 2 > 1

f) Behauptung: -1/2 = (-1)*(1/2)
Beweis: -1/2 = -1/2 + 0*(1/2) = -1/2 + (1 + (-1))*(1/2) = -1/2 + 1/2 + (-1)*(1/2) = (-1)*(1/2)

g) Behauptung: 0 < 1/2
Beweis: Wäre 1/2 = 0 so wäre 1/2 * 2 = 0*2 = 0*2 + 0*2 - 0*2 = (0+0)*2 - 0*2 = 0*2 - 0*2 = 0 != 1. Im Widerspruch dazu, dass 1/2 * 2 = 1. Also -1/2 > 0 oder 1/2 > 0. Wäre -1/2 > 0 so wäre -1 = (-1)*1 = (-1)*(1/2)*2 = (-1/2)*2 > 0. Im Widerspruch dazu, dass -1 < 0. Also 1/2 > 0

h) Behauptung: 1/2 < 1
Beweis: 1 - 1/2 = 2/2 - 1/2 = 1/2 > 0 => 1 > 1/2

Also 0 < 1/2 < 1

i) Behauptung: Für jede positive reelle Zahl a ist 0 < a/2 < a
Beweis: a > 0 => a € X
1/2 > 0 => 1/2 € X
=> a*(1/2) = a/2 € X
=> a/2 > 0

1/2 < 1 => 1 - 1/2 € X
=> a*(1 - 1/2) € X
=> a - a/2 € X
=> a > a/2

Zusammen also 0 < a/2 < a

Womit bewiesen wäre, dass jede positive reelle Zahl durch 2 geteilt weiterhin positiv und kleiner als die Ursprungszahl ist.

Zwischen 1 und 0,999... ist eben keine weitere Zahl zu schieben, das ist es ja gerade, was ich permanent erläutere. Wenn Du anderer Ansicht bist, dann benenne diese Zahl, bitte.

1 = 0,999...