Ja, ja, ja,und her damit.
Also: Ein kleiner Exkurs in die Mathematik der Mandelbrot- und Julia-Mengen. Es gibt noch ettliche andere Methoden zur Fraktal-Erzeugung; die will ich hier aber mal nicht weiter beschreiben... zumindest erst einmal nicht.
Gegeben ist eine sogenannte Iterationsfunktion. Warum sie so heißt... dazu komme ich später. Diese Iterationsfunktion hat ihren Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen. Das sind im Prinzip zwei-Dimensionale Zahlen mit ein paar arithmetischen Verknüpfungen; also darstellbar als Ebene und nicht als Gerade wie die Zahlen, die wir kennen.
Die klassische Iterationsfunktion, mit der sich Julia und Mandelbrot beschäftigten, ist:
f(z) = z^2 + c (z quadrat plus c)
Dabei ist c eine weitere konstante.
Das Ding heißt Iterationsfunktion, weil ich nicht direkt die Funktion betrachte, sondern die Zahlenfolge, die durch Iteration der Funktion - d.h. ständige Anwendeung der Funktion auf das Ergebnis - entsteht.
In einem populärwissenschaftlichen Artikel in der Zeitschrift "Spektrum der Wissenschaft" (aus dem Jahr 1989 glaube ich) hat der Mathematiker Christoph Pöppe das mit hüpfenden Flöhen verglichen, deren Zielpunkt eines Sprunges vom Startpunkt feststeht, die aber immer weiter hüpfen. Ein sehr schönes und passendes Bild zur Vorstellung, finde ich.
Bleiben wir mal bei den normalen allen bekannten eindimensionalen Zahlen und nehmen diese Funktion, wober wir c=0 setzen.
Wenn wir bei z = 2 starten, so sieht die Folge so aus:
2 - 4 - 16 - 256 - ...
Die Zahlen werden immer größer. Mathematiker sagen dazu: Die Folge divergiert. Nehmen wir als Anfangswert 0.5, so sieht die Folge so aus:
0.5 - 0.25 - 0.0625 - ...
Die Zahlen werden immer kleiner, überschreiten die Null aber nicht (werden nicht negativ). Mathematisch ausgedrückt heißt das: "Die Folge konvergiert.gegen 0".
Mathematisch betrachtet kann man divergierende Folgen auch als "nach unendlich konvergierend" bezeichen.
Diese Funktion kann nur entweder nach null oder nach unendlich konvergieren. Es gibt aber andere Iterationsfunktionen, bei denen verschiedene Grenzwerte (Punkte, zu denen die Folge konvergiert) möglich sind. Welcher Grenzwert erreicht wird, hängt einzig und allein vom Startwert und von der Konstante c ab.
Bleiben wir nochmal bei der Funktion f(z) = z^2 + c
Bei c = 0 konvergiert die Folge für alle Zahlen, deren Betrag größer als ein ist gegen unendlich und für die Startwerte zwischen -1 und 1 konvergiert die Folge gegen 0. Bei den komplexen Zahlen bilden die Startwerte, deren Folgen gegen Null konvergieren einen Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt. Für von 0 verschiedene komplexe Zahlen c wird die Form allerdings interessanter, komplexer und bildet ein Fraktal. Die verschiedenen Zahlenbereiche der Startwerte, die zu einer Konvergenz zu einem bestimmten der möglichen Grenzwerte führen, nennt man Attraktionsgebiet dieses Grenzwertes. Die Grenze zwischen zwei Attraktionsgebieten heißt die "Julia-Menge".
Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia und seinen Arbeiten um 1918 (soweit ich weiß im Kriegs-Lazaret) herum.
Nun ist die Frage: "Woher kommen die Farben in den Bildern?"
Die Frage ist einfach über eine andere Frage zu beantworten: "Woher weißt der Computer, zu welchem Zahl/welchem Punkt auf der komplexen Zahlenebene die Folge konvergiert?"
Nun gut, der Computer rechnet die Folge aus. Um die möglichen Grenzwerte der Konvergenz werden Grenzen gezogen; kleine Gebiete abgegrenzt, die auf jedem Fall zum Attraktionsgebiet dieses Grenzwertes gehören. Sollte die Folge - der hüpfende Floh - in eines dieser Gebiete hüpfen, so weiß man, dass auch der erste Startpunkt der Flohs - der Startwert der Folge - zum Attraktionsgebiet des gegebenen Grenzwertes gehört. Die Farbe kann man nun danach bestimmen, zu welchem Grenzwert die Folge konvergiert, und wie lange sie dazu braucht... wie oft der Floh hüpfen musste, um die vorher festgelegte Grenze zu überschreiten.
Dabei kann man beliebig eine Farbpallette aussuchen, die jedem Grenzwert mit jeder Kombination an möglicher Sprunganzahl eine Farbe zuordnet, mit der der erste Startpunkt eingefärbt wird.
Bei der Mandelbrotmenge wird nicht die Ebene der Startwerte betrachtet, sondern die Ebene der möglichen Werte c. Der Startwert der Folge ist festgelegt (auf die Mathematik der Wahl des Startwertes, und warum diese Betrachtung methematisch interessant ist, will ich hier nicht weiter eingehen), aber c wird variiert, und jeder Wert c wird nach den selben Regen eingefärbt.
Ich hoffe, es war interessant und verständlich zu lesen
Viele Grüße
Joey
PS: Für die, die sich in der Materie auch gut auskennen; in der Darstellungsweise habe ich, um nicht zu lang zu schreiben, an einigen Stellen auf Genauigkeit verzichtet. Einige interessante Aspekte gehan dadurch natürlcih verloren; ich hoffe aber, dass die Hauptsachen richtig rüberkommen.
wenn mann lang genug ein bild betrachtet.
jetzt aber mal mit nem
nicht vergessen
