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Mathematische Knobelaufgaben
- Ersteller Achilleus
- Erstellt am
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Joey
Sehr aktives Mitglied
Hier habe ich mal eine schöne Aufgabe
Also, da sei ein Gummiband der ursrünglichen Länge l. Am einen Ende steht eine Ameise, die Anfängt das Gummiband mit der Geschwindigkeit va entlang zu krabbeln. Gleichzeitig wird das Ende des Gummibandes mit der Geschwindigkeit vg weggezogen, so dass das Band immer länger wird (es sei unendlich lang dehnbar... wir leben in einer vereinfachten Mathewelt
) Erreicht die Ameise irgendwann das Ende, auch, wenn vg größer als va ist?
Schöne Grüße und viel Spaß
Joey
Also, da sei ein Gummiband der ursrünglichen Länge l. Am einen Ende steht eine Ameise, die Anfängt das Gummiband mit der Geschwindigkeit va entlang zu krabbeln. Gleichzeitig wird das Ende des Gummibandes mit der Geschwindigkeit vg weggezogen, so dass das Band immer länger wird (es sei unendlich lang dehnbar... wir leben in einer vereinfachten Mathewelt
) Erreicht die Ameise irgendwann das Ende, auch, wenn vg größer als va ist?Schöne Grüße und viel Spaß
Joey
demnach hast du aber einen Fehler in deiner Aufgabenstellung, wo steht, daß der eine nur den "anderen"=(nächsten) vor sich sehen kann, oder bin ich blind ?okidoki schrieb:
Mit 2 Helmen weitsicht funktioniert das ganze auch nicht.
Bewegungsgeschwindigkeit c = va
Zuggeschwindigkeit v = vg
Anfangsposition x0
Zugposition s0
Wegstrecke : von x0..0
x<=s0 (sonst würde das Band sich strecken hinter dem Zugpunkt)
s0(t)=s0+v*t
s(t)=s/s0*s0(t)=s+s*v*t/s0
ds/dt=s*v/s0
dx/dt=c+ds/dt(x)=c+x*v/s0
Es sei c<0 und v>0
für alle x aus [0,x0] muß gelten: dx/dt<0
Es ist offensichtlich, daß dx/dt am größten ist, wenn x maximal ist, daher :
c+x0*v/s0<0 <=> s0/x0*c+v<0 <=> v<-s0/x0*c
Da wir hier angenommen haben, daß x0=s0 gilt :
v<-c
Für die Beträge gilt, da -c>0:
|v|<|c|
Damit erreicht die Ameise nie das Ende für |v|>=|c| oder |vg|>|va|
Zuggeschwindigkeit v = vg
Anfangsposition x0
Zugposition s0
Wegstrecke : von x0..0
x<=s0 (sonst würde das Band sich strecken hinter dem Zugpunkt)
s0(t)=s0+v*t
s(t)=s/s0*s0(t)=s+s*v*t/s0
ds/dt=s*v/s0
dx/dt=c+ds/dt(x)=c+x*v/s0
Es sei c<0 und v>0
für alle x aus [0,x0] muß gelten: dx/dt<0
Es ist offensichtlich, daß dx/dt am größten ist, wenn x maximal ist, daher :
c+x0*v/s0<0 <=> s0/x0*c+v<0 <=> v<-s0/x0*c
Da wir hier angenommen haben, daß x0=s0 gilt :
v<-c
Für die Beträge gilt, da -c>0:
|v|<|c|
Damit erreicht die Ameise nie das Ende für |v|>=|c| oder |vg|>|va|
Ergebnis haut meiner Ansicht (anschaulich) hin, aber ich hab oben in die Gleichung s statt s(t) eingesetzt :
dx/dt=c+s/s0*v
s/s0*(s0+v*t)=x
s=s0*x/(s0+v*t)
Das eingesetzt ergibt :
dx/dt=c+x*s0/(s0+v*t)*v/s0=c+x/(s0+v*t)*v
mit s0=x0
dx/dt(x0,t=0)=c+x0/x0*v=c+v
...
dx/dt=c+s/s0*v
s/s0*(s0+v*t)=x
s=s0*x/(s0+v*t)
Das eingesetzt ergibt :
dx/dt=c+x*s0/(s0+v*t)*v/s0=c+x/(s0+v*t)*v
mit s0=x0
dx/dt(x0,t=0)=c+x0/x0*v=c+v
...
Joey
Sehr aktives Mitglied
Regelwerk schrieb:
Was ist s bzw. s(t) und was unterscheidet die voneinander?
Regelwerk schrieb:
Soll das die Geschwindigkeit des Gummibandpunktes sein, an dem sich die Ameise gerade befindet? Die ist s*v/s0(t). Du hast s0= s0(t=0) und s0(t).
Regelwerk schrieb:
Siehe oben: dx/dt = c + x*v/s0(t)
Regelwerk schrieb:
Nein, wieso muss das gelten? Die Ameise könnte ja irgendwann auch mal einen Punkt erreichen, wo das Band dann langsamer läuft.
Regelwerk schrieb:
Nein. Das ist nicht offensichtlich. Es hängt auch noch von s0(t) ab.
Du hast irgendwann unterschlagen, dass die Position des Bandendes sich ja konstant erhöht. Aus der Gleichung für dx/dt wird so eine Differentialgleichung, die zu lösen ist.
Viele Grüße
Joey
Joey
Sehr aktives Mitglied
Regelwerk schrieb:
Nein. dx/dt = c + x/s0(t)*v
Diese Differentialgleichung ist zu lösen und zu schauen, ob die Ameise das Ende erreicht.
Regelwerk schrieb:
leider falsch ...weil Du s0(t=0) und s0(t) durcheinander gebracht hast, und s und x eigentlich das gleiche ist, wenn ich Deine Rechnungen richtig verstanden habe.
Viele Grüße
Joey
PS: Ich habe mich ein wenig im Urspungsposting missverständlich ausgedrückt. Eigentlich ist die Ameise am Anfang am Ursprung und krabbelt auf das gezogene Ende zu. Das macht aber überhaupt nichts. Wenn wir uns im Bezugssystem des gezogenen Endes setzen, ist das ehemals fixe Ende das nun gezogene und die beiden Aufgaben gehen ineinander über, sind also äquivalent.
Du vestehst s falsch. s ist der Punkt im Gedehnten Koordinatensystem...Joey schrieb:
Du hast es durcheinander gebracht.
Die Korrektur die ich da geschrieben hatte, dort habe ich s mit s(t) verwechselt. Ok, mag etwas verwirrend sein.
Warum korrigierst du das Orginal, wenn ich selbst Fehler gefunden habe, und bereits Teile korrigiert habe... ?
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u(t)=e^-ln(s(t))
x(t)=(int(s(t)^-1*c,t)+r)*s(t)=(ln(s(t)*c/v+r)*s(t)
Anfang :
x0=(ln(x0)*c/v+r)*x0
1=ln(x0)*c/v+r
r=1-ln(x0)*c/v
=> x(t)=(c/v*ln(s(t)/s0)+1)*s(t)
Nullstellensuche (x(t)=0)
-1=c/v*ln(s(t))/s0
s(t)=x0*e^(-v/c)
t=x0/v*(e^(-v/c)-1)
(Die 2. mögliche Nullstelle s(t)=0 prüfe ich hier nicht...)
das t wirft für alle v>0 und c>0 gültige Werte aus.
Ich würd sagen, sie kommt immer an.
x(t)=(int(s(t)^-1*c,t)+r)*s(t)=(ln(s(t)*c/v+r)*s(t)
Anfang :
x0=(ln(x0)*c/v+r)*x0
1=ln(x0)*c/v+r
r=1-ln(x0)*c/v
=> x(t)=(c/v*ln(s(t)/s0)+1)*s(t)
Nullstellensuche (x(t)=0)
-1=c/v*ln(s(t))/s0
s(t)=x0*e^(-v/c)
t=x0/v*(e^(-v/c)-1)
(Die 2. mögliche Nullstelle s(t)=0 prüfe ich hier nicht...)
das t wirft für alle v>0 und c>0 gültige Werte aus.
Ich würd sagen, sie kommt immer an.