ist hier jemand gut in Mathe?

[Frater 543]

Ist r nicht 2/3 h?

 

[Joey]

Angegeben: Ein Kreis mit eingeschriebenem gleichschenkeligen Dreieck mit kleinstem Flächeninhalt. Radius = 5 cm

Die Aufgabe macht nur Sinn, wenn das Dreieck mit dem größt möglichen Flächeninhalt gesucht wird. Das kleinst mögliche Dreieck, das in einem Kreis eingeschrieben ist, hat den Flächeninhalt 0.

Kommen wir zur Aufgabe. Es ist wichtig einen guten Parameter zu finden, mit dem wir das Dreieck beschreiben können.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Darum ist ein gleichseitiges Dreieck immer auch ein gleichschenkliges Dreieck; umgekehrt ist das aber nicht unbedingt der Fall.

Ein guter Parameter ist der Öffnungswinkel gamma des gleichschenkligen Dreiecks zwischen diesen gleich langen Seiten.

Mit Geometrie ist es einfach den Flächeninhalt des Dreiecks als Funktion dieses Öffnungswinkels zu beschreiben (man bedenke, dass alle Ecken auf einem Kreis liegen).

Die Länge eines Schenkels beträgt l = 2*R*cos(gamma/2)

Die Grundseite beträgt a = 2*l*sin(gamma/2)
und die Höhe beträgt h = l*cos(gamma/2)

Damit ist der Flächeninhalt

A = 1/2 * a * h = l^2*sin(gamma/2)*cos(gamma/2)
= 4 R^2 * cos^2(gamma/2)*sin(gamma/2)*cos(gamma/2)
= 4 R^2 * cos^3(gamma/2)*sin(gamma/2)

Das kann man sicher noch weiter vereinfachen; dazu bin ich jetzt aber zu faul.

Ansonsten wie üblcih weiter fortfahren; Flächeninhalt A nach gamma ableiten und Ableitung auf 0 setzen. So kommt man dann zu Lösung.

Viele Grüße
Joey (in der Hoffnung nicht irgendwo einen Denkfehler gemacht z uhaben)

 

[Ulien]

Ist r nicht 2/3 h?

es ging grad um den Radius des Kreises in dem sich dieses gleichschenklige Dreieck befindet

Und der r=1/2 d

 

[Frater 543]

es ging grad um den Radius des Kreises in dem sich dieses gleichschenklige Dreieck befindet

Und der r=1/2 d

Ja, ich dachte ich komme an die Höhe des Dreickecks ran, womit man dann die Fläche berechnen könnte.

Dass d = 2r ist weiß ich auch.

Glaube Joey hat es gelöst. Das übersteigt meine mathematischen Fähigkeiten.

Macht aber Spaß!

 

[Ulien]

m.E. ist die Aufgabenstellung unvollstöändig kann das Kenshi?

 

[Frater 543]

@Joey ist das größtmögliche gleichschenklige Dreieck im Kreis nicht gleichzeitig auch das gleichseitige?

 

[Frater 543]

Man kann es schon nur mit dem Radius lösen, wenn es gleichseitig ist.

r = Wurzel3/3*a

Umstellen und a ausrechnen. Der Rest ist dann einfach.

 

[Dancefloor-Princess]

m.E. ist die Aufgabenstellung unvollstöändig kann das Kenshi?

Hm, nein eigentlich nicht!

@Joey
Danke!

 

[Ulien]

Joey ...das ist mir zu hoch

der größtmögliche wäre mir auch klar so bin ich auch dran gegangen und komme auf 25 cm2

Das kleinstmögliche hieße ich müsste die kleinstmögliche Sehne im Kreis festlegen....und dann weiter rechnen ...dazu bin ich allerdings nicht aus dem Bauch in der Lage hrhrhr

Grüßlies

 

[Joey]

@Joey ist das größtmögliche gleichschenklige Dreieck im Kreis nicht gleichzeitig auch das gleichseitige?

Das soll man ja ausrechnen. Und ich schätze, dass das das Ergebnis sein wird.. zumal es so in Kenshis Lösungsbuch steht.

Viele Grüße
Joey