Mathematik

Lamia1 schrieb:
Wenn ich nun aber 1/9 und 0,111... jeweils mit 9 multipliziere, dann sind die daraus resultierenden Produkte nicht mehr identisch? Wie kann das sein?

Sie sind doch identisch. In beiden Fällen ist das Ergebnis 1. Denn 0,111... Periode ist eine rationale Zahl, die man als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann, als 1/9 eben. Dagegen ist 0.999... Periode keine rationale Zahl und auch nicht das Ergebnis von 0,111... Periode * 9.
 
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Lamia1 schrieb:
Warum nicht? Wieso ist 0,111... * 9 = 0,999... und 0,333... * 3 = 0,999... falsch?


Eine rationale Zahl zeichnet sich dadurch aus, dass sie das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander beschreibt. Es gibt keine ganzen Zahlen, die zueinander im Verhältnis 1:0,999... stehen. Bei 0,111... = 1/9 und 0,333... = 1/3 gibt es die. Du kannst ja z.B. schreiben: 0,333...= 1/3 und beim Multiplizieren mit 3, diese 3 wegkürzen. 1/3 *3 = 1. Versuche das doch mal mit 0,999... Wenn es keinen Bruch aus ganzen Zahlen gibt, der 0,999... zum Ergebnis hat, kann es umgekehrt auch keine ganze Zahl geben, die mit 0,999... multipliziert wieder eine ganze Zahl ergibt.
 
Zuletzt bearbeitet:
Versuche das doch mal mit 0,999...

1/1.

Ich verstehe nicht, wieso sich die ausschließlich aus der Ziffer 1 bestehende Ziffernfolge nach dem Komma (0,111...) bei Multiplikation mit 9 nicht in eine endlose Neuner-Ziffernfolge umwandeln sollte... Jede 1 wird bei diesem Multiplikationsprozess doch durch eine 9 ersetzt, bis in die Unendlichkeit.
 
1/1.

Ich verstehe nicht, wieso sich die ausschließlich aus der Ziffer 1 bestehende Ziffernfolge nach dem Komma (0,111...) bei Multiplikation mit 9 nicht in eine endlose Neuner-Ziffernfolge umwandeln sollte... Jede 1 wird bei diesem Multiplikationsprozess doch durch eine 9 ersetzt, bis in die Unendlichkeit.

Mache es doch einfach:

0,1 * 9 = 0,9
0,11 * 9 = 0,99
0,111 * 9 = 0,999
0,1111 * 9 = 0,9999
0,11111 * 9 =0,99999

...

0,111... * 9 = 0,999...
 
Wieso sollten die Produkte der beiden Multiplikationen unterschiedlich sein? Tut mir leid, aber nun muss ich fragen mit was für einem Rechner oder Taschenrechner Du arbeitest.
1/9 ist ein Bruch oder anders gesagt eine Division, deren Ergebnis unanfechtbar die rationale Zahl 0,111... ergibt. Wenn ich den Bruch oder die rationale Zahl, die das Ergebnis des Bruches ist, wieder mit 9 multipliziere, ist in jedem Fall das Ergebnis gleich.
Damit sagst Du: 1 = 0,999...

Entschuldige, aber entweder willst Du nicht verstehen, oder Du kannst es nicht verstehen. Aber ich besage mit keinem Wort das 1 = 0,999... ist, das ist eine Aussagen, die Du mir trotz aller Beweise die ich angebracht habe - auf meine Tatstatur legst.

Nochmal zum Mitschreiben --- 0,111... ist eine rationale Zahl der Zahlenmenge Q, die das Ergebnis aus dem Bruch 1/9 darstellt und deswegen gleich. Zur Erklärung, bei einer Gleichung ist das Ergebnis der rechten Seite der Gleichung - gleich dem Ergebnis der linken Seite der Gleichung - deswegen heißt es "Gleichung". Das Gegenteil ist die Ungleichung.
0,999... ist eine reelle Zahl der Zahlenmenge R, da sie sich nicht durch einen Bruch darstellen lässt. Aus dem Grund können Aussagen zur rationalen Zahl 0,111... und der reellen Zahl 0,999... nicht in einem äquivalenten Vergleich gezogen werden.

Du willst bildlich Zitronen mit Bananen vergleichen - und beides ist trotz aller Bemühungen nicht mit Walnüssen zu vergleichen.

Wenn Du meine Ausführungen und Beweise nicht verstehen kannst - okay. Wenn Du sie nicht verstehen willst - auch okay, aber dann macht eine weitere Diskussion keinen Sinn - speziell wenn Du Deine Meinung mit falschen Aussagen untermauern willst.
 
Entschuldige, aber entweder willst Du nicht verstehen, oder Du kannst es nicht verstehen. Aber ich besage mit keinem Wort das 1 = 0,999... ist, das ist eine Aussagen, die Du mir trotz aller Beweise die ich angebracht habe - auf meine Tatstatur legst.

Du hast selbst geschrieben, dass

1/9 = 0,111... sei.

Weiterhin bestätigtest Du, dass

1/9 * 9 = 0,111... * 9 sei.

Eindeutig ist: 1/9 * 9 = 1

Und was ist nun 0,111... * 9?

Schrittweise:

0,1 * 9 = 0,9
0,11 * 9 = 0,99
0,111 * 9 = 0,999
0,1111 * 9 = 0,9999
0,11111 * 9 =0,99999

...

0,111... * 9 = 0,999... Ergo:

1 = 0,999...
 
Zusatz:

1 ist ein Element aus der Gruppe der natürlichen Zahlen N.

0,111... ist eine Zahl aus der Gruppe der rationalen Zahlen Q, weil diese Zahl das Ergebnis aus der Auflösung des Bruches 1/9 ist, dessen Nenner und Zähler zu der Gruppe der natürlichen Zahlen gehören.

0,999... ist eine Zahl aus der Gruppe der reellen Zahlen, weil sie diese Zahl nicht durch einen Bruch darstellen lässt, dessen Nenner und Zähler aus der Gruppe der natürlichen Zahlen sind.

Die Auflösung aus dem Bruch 1/9 ist die rationale Zahl 0,111..., deswegen muss zwangsläufig die Umkehrrechnung (1/X), als Gegenbeweis für die Gleichung wieder zu dem Ergebnis des Bruches führen, dessen Nenner und Zähler mit Zahlen aus der Gruppe der natürlichen Zahlen darzustellen ist.

Zu der reellen Zahl 0,999... gibt es keine Umkehrrechnung oder anders ausgedrückt, führt die Umkehrrechnung (1/X) wiederum nur zu einer anderen Zahl aus der Gruppe der reellen Zahlen 1,000...0001.

Wenn Dir all diese Erklärungen nicht genügen um zu beweisen das die Aussage, das die natürliche Zahl 1 identisch mit der reellen Zahl 0,999... ist, falsch ist und Du Deinen Mathelehrer damit nicht überzeugen kannst, dann ist Dir und Deinem Mathelehrer nicht zu helfen...

...aber in der Grundschule soll den Schülern ja auch erlaubt werden alles so zu schreiben wie sie wollen, es gelten also keinerlei Rechtschreibregeln --- wenn das die Schule der Zukunft ausmachen soll - na dann Gute Nacht Deutschland und Guten Morgen dem Land der neu geborenen Dummerchen.

"Ade du schöne Welt!" sang schon der Wurschtel-Kasperle aus Janosch Weihnachtsgeschichten ...
 
Du hast selbst geschrieben, dass

1/9 = 0,111... sei.

Weiterhin bestätigtest Du, dass

1/9 * 9 = 0,111... * 9 sei.

Eindeutig ist: 1/9 * 9 = 1

Und was ist nun 0,111... * 9?

Schrittweise:

0,1 * 9 = 0,9
0,11 * 9 = 0,99
0,111 * 9 = 0,999
0,1111 * 9 = 0,9999
0,11111 * 9 =0,99999

...

0,111... * 9 = 0,999... Ergo:

1 = 0,999...

Deine Denkweise ist schon falsch - Du kannst eine periodische Zahl nicht Schrittweise errechnen, weil Dein Leben und das Leben Deiner Kinder und Kindeskinder und so weiter, nicht reicht um eine unendliche periodische Zahl schrittweise zu errechnen.
Die Auflösung des Bruches 1/9 oder 1 geteilt durch 9 ergibt aber eine unendliche Zahl, das ist eben der Ausdruck "Periode"! Aus dem Grund gehört die Zahl 0,111... Periode, die das Ergebnis der Auflösung des Bruches von 1/9 ist, zu der Gruppe der rationalen Zahlen Q, einer Zahlengruppe die sich errechnen lässt!

0,999... Periode ist hingegen eine fiktive Zahl, die sich nicht errechnen lässt, sondern lediglich eine angenommene Zahl ist, deswegen gehört sie nicht zur Gruppe der rationalen Zahlen, sondern zur Gruppe der reellen Zahlen --- das hat einen Grund!
Die Aussage der Mathematik ist, das natürliche Zahlen identisch mit Zahlen aus der Gruppe der rationalen Zahlen sind. --- Es gibt keine mathematische Aussage die besagt, das natürliche Zahlen identisch mit Zahlen aus der Gruppe der reellen Zahlen sind.
Deswegen ist 1 nicht identisch mit 0,999... --- aber 0,111... identisch mit dem Bruch 1/9.

Ich glaube jetzt habe ich alle möglichen Beschreibungen und Beweise aufgeführt - mehr kenne ich nicht...

...verstehst Du den Unterschied zwischen einer errechneten Zahl und einer fiktiven Zahl?
 
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