Wären 1 und 0,999... nicht identisch, müsste die Subtraktion 1 - 0,999... eine von Null verschiedene Differenz ergeben. Bei diesem Resultat müsste es sich zugleich um die kleinste positive reelle Zahl handeln, also um den Nachfolger von Null in der Menge der reellen Zahlen, den es nicht geben kann, da man immer wieder x/2 schreiben und jenen Divisionsprozess auch bis ins Endlose fortsetzen kann, womit man stets die nächstkleinere Zahl "eruiert".
Wie Du sagst, die Subtraktion von 1 - 0,999 Periode müsste nicht nur ergeben, sondern ergibt die kleinste positive reelle Zahl. Klar ist, das diese reelle Zahl nicht durch eine rationale Zahl, oder anders ausgedrückt durch einen Bruch darzustellen ist, wie Du dann mit X/2 als Beweis anbringen möchtest.
Deswegen ist die Menge "R" der reellen Zahlen eine erweiterte Zahlenmenge, in der die Menge der rationalen Zahlen "Q" enthalten ist.
Existierte die kleinste positive reelle Zahl, wäre die Menge der reellen Zahlen abzählbar, da man sie eben (theoretisch) durch Aufsummierung jener kleinsten Zahl abzählen könnte. Gemäß dem 2. Cantor'schen Diagonalargument ist die Menge der reellen Zahlen jedoch überabzählbar.
Das eine schließt das andere nicht aus. Gregor Cantor hat in seinem ersten Diagonalargument bewiesen, das die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, denn die Menge der ganzen und natürlichen Zahlen ist endlich definierbar, somit sind Brüche und deren Ergebnisse, die rationalen Zahlen auch endlich definierbar.
Das zweite Diagonalargument besagt, das die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, was nicht ausschließt, das die Menge der reellen Zahlen durch eine Aneinander-Reihung der kleinsten reellen Zahl zu definieren ist, denn wenn die kleinste reelle Zahl unendlich (0,0...01) "klein" ist, dann ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, weil der Faktor der Aneinander-Reihung unendlich ist.
Die Überabzählbarkeit oder auch Unendlichkeit der kleinsten Reellen Zahl ist aber nicht eine Beweisführung, das die natürliche Zahl 1 gleich der rationalen Zahl 0,999... ist.
Außerdem bin ich der Meinung, dass lim 1 / n > 0 gelten müsste, gälte tatsächlich 1 > 0,999... .
Entschuldigung, eigene Meinungen zählen in der Mathematik leider nichts, solange sie nicht eindeutig bewiesen sind, in der Philosophie ist das anders, deswegen gibt es in der Philosophie nicht nur Richtig oder Falsch.
Betrachte ich es genauer, so ist das Verhältnis der natürlichen Zahl 1 und der Zahl 0,999... weder äquivalent, noch bijektiv, denn es ist keine definierbare Ähnlichkeit abzuleiten (zumindest finde ich keine). Die Zahl 0,999... ist wahrscheinlich eher in der Menge der reellen Zahlen einzuordnen als in der Menge der rationalen Zahlen.
Fakt ist, 0,999... ist sehr ähnlich 1 - aber nicht identisch! Und laut Deinem Eingangsbeitrag diskutieren wir hier über mathematische Gleichungen und Aussagen, nicht über philosophische Themen - obwohl sich das hier schon fast philosophisch liest.
P.S. Ich möchte natürlich nicht Deinen Drang nach eigenen Gedanken oder Kritik der mathematischen Definitionen stoppen oder niedermachen. Ich bin der Meinung, dass kritische Gedanken zu "Gesetzen" oder allgemein gültigen Tatsachen, Chancen zu neuen Erkenntnissen mit sich bringen.
Ich persönlich diskutiere und argumentiere hier mit den bestehenden Definitionen der Mathematik, weil ich die Mathematik als absolut Logisch empfinde - lasse ich den Bereich der Komplexen oder Imaginären Zahlen mal außer acht...
Ich möchte damit ausdrücken, das ich mir nicht anmaße zu sagen - so ist das, sondern lediglich Aussagen Aufgrund der mir bekannten mathematischen Logik treffe und für diese Aussagen nicht den Anspruch auf
absolute Wahrheit erhebe.
